[表示圆的几种方程式]计算机图形学学习笔记（九）：曲线曲面（一）：参数曲线、参数几何代数形式

断开文 计算机系统信号处理 自学讲义（八）：二维绘图转换：二维欧几里得转换，所证（相相连/ 折射 二维）

计算机系统信号处理十一个文本：点阵绘图表明（后面已经如是说完了 1-8）、欧几里得外型控制技术、真实感绘图表明。点阵信号处理是信号处理的此基础，有大批的价值观和演算法。

接下去竭尽全力自学欧几里得外型控制技术。

欧几里得外型控制技术是几项科学研究在计算机系统中，怎样抒发球体数学模型花纹的控制技术。

叙述球体的二维数学模型有四种：

洼瓣数学模型：用三角形和边来则表示球体球面数学模型：只叙述球体的表层和表层的相连亲密关系，不叙述球体外部的点的特性实体数学模型：不仅有球体的外形因此也有球体外部的点叙述

尽管这四种数学模型各有优劣，但随著时间发展，洼瓣数学模型和实体数学模型都被球面数学模型给替代了。现在主要科学研究的是球面数学模型。

抛物线和球面的则表示方程组有模块则表示和非模块则表示之分，非模块则表示又分成显式则表示和显式则表示。

对两个平面抛物线，显式则表示通常方式是：y = f（x）

在此方程组中，两个 x 值与两个 y 值相关联，因此显式方程组不能则表示半封闭或介值的抛物线。

如果两个平面抛物线方程组，则表示成 f（x , y） = 0 的方式，称作显式则表示。显式则表示的缺点是更易推论两个点与否在抛物线上。

与单位向量相关用显式抒发式则表示会存有介值性用显式抒发式则表示不简单，算数不方便会出现最小值为无限大的情况

为的是消除以内问题，抛物线球面方程组通常来说则表示成模块的方式。

二维上，假定用 t 则表示模块，平面抛物线上任意一点 P 可则表示为：P（t）=[ x（t），y（t）]

二维上，假定用 t 则表示模块，空间抛物线上任意一二维点 P 可则表示为：P（t）=[ x（t），y（t） , z（t）]

它等价于笛卡尔分量则表示：P（t）= x（t）i + y（t）j + z（t）k

这样，给定两个 t 值，就可以得到抛物线上一点的坐标。

模块抛物线通常可以写成：p = p（t） t ∈[ 0 , 1 ]

类似地，模块球面可以则表示成：p（u , v）= p（x（u,v）, y（u,v），z（u,v）） （u,v）∈[ 0 , 1 ] ×[ 0 , 1 ]

最简单的模块抛物线是直线段，端点为 p1，p2 的直线段模块方程组可则表示为：p（t）= p1 +（p2-p1）t t ∈[ 0 , 1 ]

在抛物线、球面的则表示上，模块方程组比显式、显式方程组有更多的优越性，主要表现在：

可以满足欧几里得不变性的要求：即指花纹的数学则表示及其所抒发的花纹不随所取坐标系而改变的性质有更大的自由度来控制抛物线、球面的花纹直接对模块方程组进行欧几里得转换便于处理最小值为无限大的情况，不会因此而中断计算界定抛物线、球面的范围十分简单更易用向量（矢量）和矩阵运算，简化计算

这部分文本完全来自于微分欧几里得。微分欧几里得是用微分的方法来科学研究抛物线的局部性质，如抛物线的弯曲程度等。

一条用模块则表示的二维抛物线是两个有界的点集，可以写成两个带模块的、连续的、单值得数学抒发式，其方式：

抛物线上任意两个点的位置矢量可以则表示为：P（t）=[ x（t），y（t） , z（t）]

切向量求导，求导以后还是两个向量，称为曲率，其欧几里得意义是抛物线的单位切向量对弧长的转动率，即刻画这一点的抛物线的弯曲程度。

法矢量是与切矢量垂直的向量。

空间抛物线不仅要弯曲，因此还要扭曲，即要离开它的密切平面。为的是能刻画这一扭曲程度，等价于去科学研究密切平面的法矢量（即抛物线的副法矢量）关于弧长的变化率。

自由抛物线和自由球面通常通过少数分散的点生成，这些点叫做型值点、样本点或控制点。

下方是插值抛物线的例子：

把插值抛物线推广到球面的话，则是插值球面。

构造插值抛物线球面所采用的的数学方法称为抛物线球面插值法。

构造一条抛物线使之在某种意义下最接近给定的数据点（但未必通过这都些点），所构造的抛物线为拟合抛物线。

在计算数学中，逼近通常来说指用一些性质比较好的抒发式近似则表示一些性质不好的抒发式。在计算机系统信号处理中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。

例子：

对逼近样条，相连控制点序列的折线通常来说被表明出来，以提醒设计者控制点的次序。通常将相连有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征多边形。

指抛物线的拐点不能太多（有一、二阶导数等）

在数学领域是指：凸抛物线与凹抛物线的相连点

对平面抛物线而言，相对光顺的条件是：

具有二阶欧几里得连续性不存有多余的拐点和奇异点曲率变化较小

当许多模块抛物线 首尾相连 构成一条抛物线时，怎样保证各个抛物线段在相连处具有合乎要求的连续性是两个重要问题。

假定模块抛物线段 以 模块方式进行叙述：

这里讨论模块抛物线两种意义上的连续性：即模块连续性和欧几里得连续性。

经典的模块连续性在信号处理里是不适合的，因为太苛刻，因此引进了欧几里得连续性的概念。

抛物线段相连的另两个连续性条件是欧几里得连续性。与模块连续性不同的是，它只需要抛物线段在相交处的模块导数成比例即可。

在如是说模块化之前，先提出两个问题。

问题：过三点 p0，p1，p2 构造抒发式则表示的插值多项式是唯一的还是多个的呢？

答案：插值多项式可以有无数条，这是因为相关联的模块 t 在 [ 0 , 1 ] 中可以由无数种取法。

插值问题实际上就是解方程组组的问题。但如果模块取的不一样的话，结果也会不一样。

每个模块值称为节点。对一条插值抛物线来说， p0，p1，p2 这些点称为 型值点。

对一条插值抛物线，型值点 p0，p1，p2，…，pn 与其模块域 t ∈[ p0 , p1 ] 内的节点有一种相关联亲密关系。

对一组有序的型值点来说，所确定的一种模块分割，称作这组型值点的模块化。

例子：

再给两个例子：

模块化的本质就是找一组恰当地模块 t 来匹配这一组不同的型值点。给定一组不同的型值点，就要给出不同的模块化即不同的 t 值，这样才可以使这条抛物线美观、合理。

节点在模块轴上呈等距分布。如 0、1/10、2/10 等

这种模块法如实的反应了型值点按弦长的分布情况，能够消除型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀模块化所出现的问题。

向心模块化法，假设在一段抛物线弧上的向心力与抛物线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心模块化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。

以三次模块抛物线为例，讨论模块抛物线的拓扑和欧几里得方式。